ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ И СПЕКТРЫ СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЦ НА ГРАФАХ ВТОРИЧНЫХ ТОПОЛОГИЙ

Abstract

В работе рассматривается проблема локализации спектров симметричных вещественных матриц на графах вторичной топологии. Такими матрицами, в частности, описываются конечно-разностные приближения некоторых дифференциальных операторов на геометрических графах (оператор Лапласа и т. п.). Для матриц рассматриваемого типа в работе выведено выражение характеристического многочлена через полиномы Чебышева, с помощью которого получена теорема о поведении спектров таких матриц при росте их размерности. В качестве одного из следствий этой теоремы приводятся оптимальные оценки максимального собственного числа для различных спектров графа на основе знания максимальной степени вершины. This paper addresses the problem of spectra localization for real symmetric matrices on secondary topology graphs. In particular, such kind of matrices describes finite-difference approximations of some differential operators on geometric graphs (Laplace operator, etc.). Compact expression for the characteristic polynomial of these matrices is derived on the basis of Chebyshev polynomials. This expression is used to obtain a theorem about behavior of the spectra if matrix's dimensions increase. As a consequence of this theorem the optimal estimates of maximum eigenvalue for different spectra of graphs based on the maximum degree are obtained.