ФОРМАЛЬНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧІ ДІРІХЛЕ У КУЛІ ДЛЯ НЕОДНОРІДНОГО УЛЬТРАГІПЕРБОЛІЧНОГО РІВНЯННЯ З ПОЛІНОМІАЛЬНОЮ ПРАВОЮ ЧАСТИНОЮ

Abstract

В роботі знайдено формальний розв’язок задачі Діріхле у кулі для неоднорідного ультрагіперболічного рівняння з поліноміальною правою частиною. Процедура побудови розв’язку базується на апараті сферичних функцій та теорії гіпергеометричного рівняння Гаусса. При цьому шукана функція та відома права частина досліджуваного рівняння розкладаються в ряд Фур’є за сферичними гармоніками, які є власними функціями оператора Лапласа-Бельтрамі. Зазначене розкладання дозволяє привести вихідне ультрагіперболічне рівняння до звичайного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку. Відповідне однорідне рівняння за допомогою підстановки перетворюється на гіпергеометричне рівняння Гаусса, дослідження якого полягає у детальному аналізі так званого виродженого випадку, коли розв’язок може бути виражений через будь-які два з 24 рядів Куммера. Складнощі доведення гладкості розв’язку задачі Діріхле для ультрагіперболічного рівняння пов’язані з тим, що кожен наступний член формального ряду виражається через попередній за допомогою громіздких рекурентних співвідношень.