Два случая интегрируемости уравнений Кирхгофа

Abstract

Однією з найбільш загальних задач динаміки твердого тіла, що зводяться до інтегрування системи звичайних диференціальних рівнянь, є задача про рух твердого тіла в ідеальній нестисливій рідині, що безмежно простягається. Основними змінними такої задачі Г. Кірхгоф призначив компоненти кутової швидкості і швидкості тіла в осях, пов’язаних з тілом. У цих змінних традиційно і записують рівняння руху, як правило розглядаючи лише той випадок, коли поверхня, що обмежує тіло, однозв’язана [1, с. 200; 2, с. 390; 3, с. 210]. У більш загальному випадку, коли тіло має порожнини, заповнені рідиною, й отвори, через які циркулює зовнішня стосовно тіла рідина, В.О. Стєклов [5] узагальнив рівняння задачі. П.В. Харламов запропонував нову форму рівнянь руху узагальненої Стєкловим задачі, призначивши основними змінними компоненти імпульсивної сили і пару [6, 7]. У випадку відсутності циркуляцій ця форма рівнянь є у С.О. Чаплигіна [10, 11]. У додаток до вказаних двох форм диференціальних рівнянь П.В. Харламов в [9] дає можливість запису ще двох форм цієї задачі, коли основними змінними призначаються пара і швидкість або імпульсивна сила і швидкість. Розгорнутий запис чотирьох форм рівнянь наведений у [8]. Детальна бібліографія пошуку інваріантних співвідношень (одного, двох і трьох лінійних) наведена в [4].