Про вiдображення скiнченного спотво- рення довжини на риманових поверхнях

Abstract

У статтi, в термiнах дилатацiй, доведено ряд критерiїв для неперервного i гомеоморфного продо- вження на границю вiдображень скiнченного спотворення довжини мiж областями на риманових поверхнях. Ця робота є продовженням наших попереднiх статей [1] i [2], в яких можна знайти короткий iсторичний огляд та обговорення основних означень. Зазначенi роботи були присвяченi теорiї граничної поведiнки вiдображень зi скiнченним спотворенням за Iванцем на риманових поверхнях, якi спершу були визначенi на площинi в роботi [3], а пiсля узагальненi на Rn, n > 2, в монографiї [4]. В данiй статтi розвивається теорiя граничної поведiнки на риманових поверх- нях, так званих, вiдображень зi скiнченним спотворенням довжини, що були вперше визначенi в роботi [5] в контекстi Rn, n > 2, див. також главу 8 монографiї [6]. Як було показано в робо- тах [7] i [8], такi вiдображення, взагалi кажучi, не є вiдображеннями зi скiнченним спотворенням за Iванцем, оскiльки їх першi частковi похiднi можуть бути локально не iнтегрованi. В той же час, цей клас є узагальненням вiдомого класу вiдображень з обмеженим спотворенням довжини за Вяйсяля–Мартiо з роботи [9]. Крiм того, в цей клас входять в якостi пiдкласу так званi скiн- ченно бiлiпшицевi вiдображення, введенi в Rn, n > 2 в роботi [10], див. секцiю 10.6 в [6], якi в свою чергу є узагальненням добре вiдомих класiв бiлiпшицевих вiдображень, а також iзометрiй та квазiiзометрiй. При дослiдженнi локальної та граничної поведiнки вiдображень зi скiнчен- ним спотворенням довжини в Rn ключовим фактором було те, що вони задовольняли деяким модульним нерiвностям, якi сприяли розгляду бiльш ширших класiв вiдображень, див., напри- клад, статтi [5, 11, 12] та монографiю [6]. Тому природньо, що при дослiдженнi вiдображень зi скiнченним спотворенням на риманових поверхнях ми розпочнемо iз встановлення вiдповiдних модульних нерiвностей, якi будуть слугувати для нас основним iнструментом при вивченнi гра- ничної поведiнки таких вiдображень.